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Dans ce texte, Blaise Pascal, philosophe, physicien  et mathématicien du XVIIème siècle, évoque la notion de démonstration. Selon Pascal, la méthode géométrique observe des "démonstrations convaincantes", mais il y aurait une méthode "encore plus excellente", méthode qui, selon lui, est impossible à appliquer.

Pascal commence par affirmer que la géométrie permet de mettre en oeuvre des "démonstrations convaincantes". Une démonstration est une opération mentale, un raisonnement par lequel on établit la vérité d'une proposition, d'un théorème. En logique et en mathématique, une démonstration ou une preuve est une rédaction argumentée qui établit la véracité d'un énoncé. Une démonstration s'appuie sur des hypothèses, des énoncés précédemment démontrés ou supposés évidents que l'on nomme tantôt des axiomes, tantôt des postulats et des règles de déduction.

Un théorème est une affirmation mathématique ou logique qui peut être démontrée, c'est une assertion qui peut être établie comme vraie au travers d'un raisonnement logique construit à partir d'axiomes supposés indémontrables ou de postulats supposés démontrables.

Une démonstration mathématique doit être "convaincante", c'est-à-dire qu'elle doit emporter l'adhésion de l'esprit. Tout homme de bonne volonté, doué de raison, ne peut qu'admettre la véracité d'une démonstration convaincante, par exemple celle du théorème de Thalès : 

 

Théorème de Thalès : Soit un triangle ABC, et deux points D et E des droites (AB) et (AC) de sorte que la droite (DE) soit parallèle à la droite (BC

 

Alors on a : AD sur AB = AE sur AC = DE sur BC

 

La démonstration d'Euclide par la méthode des aires :

théorème de Thalès - méthode des aires - copyright Patrice Debart 2004

Les triangles MBC et NBC ont le côté [BC] commun ; les troisièmes sommets sont sur une parallèle à ce côté commun ; ils ont des hauteurs MP et NQ égales ; ces deux triangles ont la même aire et par complément dans le triangle ABC on a l'égalité des aires :
A(AMC) = A(ABN).
En divisant les deux termes de cette égalité par A(ABC) on a :

A(AMC)/A(ABC) = A(ABN)/A(ABC).
 
Dans le deuxième paragraphe du texte, Pascal énonce un paradoxe : la géométrie traditionnelle permet d'aboutir à des résultats satisfaisants, mais elle n'est pas elle-même entièrement satisfaisante.
 
Une démonstration entièrement satisfaisante et absolument parfaite qui surpasserait la méthode de la géométrie aurait, selon Pascal, deux caractères :
 
Premièrement, elle expliquerait le sens de tous les termes dont on se sert et n'emploierait jamais un terme dont on n'a pas défini le sens. Cette exigence d'un langage absolument "parfait" a été posée à la même époque par un mathématicien et philosophe allemand, G.W. Leibniz sous le nom de "mathesis universalis". On retrouve ce souci d'un langage exact chez les penseurs du cercle de Vienne et dans la philosophie dite " analytique" (G.Frege, B.Russell, L.Wittgenstein).
 
Deuxièmement, elle n'avancerait aucune proposition qui n'ait été démontrée par des vérités déjà connues. Elle prouverait toutes les propositions.
 
Pascal fait allusion, en parlant de "premières propositions", aux notions de "postulat" et "d'axiome" (que l'on a tendance à ne plus distinguer aujourd'hui). Un axiome (du grec axioma = considéré comme digne, convenable, évident en soi) désigne une proposition utilisée comme fondement d'un raisonnement ou d'une théorie mathématique. 

Le postulat est ce que le mathématicien demande qu'on lui accorde et qui sert de fondement au reste de son exposé. Cependant, la possibilité demeure de le démontrer plus tard. En ce sens, le postulat se distingue de l'axiome, ce dernier étant toujours posé au départ comme un élément fondamental du système qu'on ne cherchera pas à démontrer.

Note : selon mon collègue de mathématiques, un axiome est une proposition que l'on suppose vraie et évidente, mais indémontrable (on pense que l'on ne pourra jamais la démontrer), alors qu'un postulat est une proposition que l'on suppose également vraie et évidente, mais que l'on suppose démontrable (on pense que l'on pourra peut-être la démontrer un jour)

Au début des Eléments, Euclide énonce cinq axiomes et un postulat :

  • Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.
  • Tout segment est prolongeable en une droite.
  • Deux points distincts étant donnés, il passe un cercle et un seul par le second ayant pour centre le premier point.
  • Tous les angles droits sont égaux entre eux.
  • Par un point extérieur à une droite, il passe une droite et une seule, parallèle à la droite donnée.

Selon Pascal, la véritable méthode qui formerait les démonstrations "dans la plus haute excellence" serait belle, mais elle est absolument impossible. Cette méthode serait belle car elle serait parfaite, elle ne laisserait rien à désirer, mais elle est impossible à appliquer car pour prouver les premières propositions, il faudrait remonter à d'autres propositions qui les précèdent et régresser ainsi à l'infini, ce dont l'esprit humain est incapable. Il est donc nécessaire de s'arrêter quelque part et d'admettre une première proposition comme "évidente", sans pouvoir la démontrer.

De l'esprit géométrique a une visée apologétique. L'existence de raisonnements convaincants témoigne des capacités de la raison humaine, mais l'impossibilité de cette même raison de remonter au-delà d'un certain point (les axiomes et les postulats) en montre les limites. Selon Pascal, seul l'entendement divin détient le secret de la véritable méthode qui formerait les démonstrations "dans la plus haute excellence".

Pascal montre que toute tentative de démonstration "parfaite" conduit nécessairement à une "régression à l'infini". Il n'y a donc pas de méthode totalement rigoureuse pour accéder à la vérité. C'est la raison pour laquelle Pascal privilégie le cœur par rapport à la raison ("le cœur a ses raisons que la raison ne connaît point"). C'est le cœur, non en tant que siège supposé des sentiments, mais en tant qu'intuition (intellectuelle) qui saisit l'évidence des axiomes et des postulats. Cette défiance vis-à-vis de la raison et de sa capacité à tout démontrer peut déboucher sur le scepticisme.

Conclusion :

Ce texte recèle un paradoxe : Pascal veut trouver une méthode parfaite de démonstration, mais il admet que cette méthode est impossible. Selon lui, la raison n'a pas à demander au cœur une démonstration de ses principes, ce qui met fin au scepticisme. Mais il y a plus : non seulement la connaissance du cœur (l'intuition) est irréductible, mais la raison en dépend entièrement pour la moindre de ses démonstrations. C'est par le cœur que nous sentons les vérités premières et c'est pas lui que nous "connaissons" Dieu.

Note : L'axiomatique moderne ne considère plus les axiomes et les postulats comme des vérités "évidentes" en elles-mêmes. Les "géométries non euclidiennes" ont  recours à tous les axiomes et postulats posés par Euclide dans les Éléments, sauf le postulat des parallèles (le cinquième proposition). Comme l'affirme Henri Poincaré : "Une géométrie ne peut être plus vraie qu’une autre, elle peut simplement être plus commode.

 

 

 
 
 
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