Blaise Pascal, De l'esprit géométrique (aide au commentaire d'un extrait)

L'auteur : Blaise Pascal, né le 19 juin 1623 à Clermont (aujourd'hui Clermont-Ferrand), en Auvergne, mort le 19 août 1662 à Paris, est un mathématicien, physicien, inventeur, philosophe, moraliste et théologien français.

L'oeuvre : De l’Esprit géométrique et de l’art de persuader est un opuscule composé par Pascal vers 16581. Il devait être la préface à un essai sur les éléments de géométrie, destiné aux Petites écoles de Port-Royal, mais ce traité fut finalement rédigé par Arnauld neuf ans plus tard. Quoique très bref, ce texte condense plusieurs thèmes chers à Pascal et qu’il développe parallèlement dans ses autres œuvres, parmi lesquels la double infinité et les limites de la science humaine (Pensées), mais aussi, plus formellement, l’exigence de clarté et de probité sans laquelle il n’y a pas de progrès (Les Provinciales, Préface pour le Traité du vide). De l’Esprit géométrique est d'un point de vue précis une apologie des mathématiques, érigées en modèle pour la conduite de l’esprit ; mais c’est encore un des textes où Pascal donne le plus clairement à voir les raisons de sa conversion à un christianisme rigoureux, puisqu’il montre comment le cœur supplante la raison dans l’ordre de l’inconcevable. Les deux sections que laisse deviner le titre correspondent aux deux tâches qu’il faut accomplir pour démontrer la vérité : prouver chaque proposition en particulier (ce qu’expose "L’esprit de géométrie") et disposer toutes les propositions dans le meilleur ordre (ce qui est l’objet de "L’art de persuader"). Mais l’ordre réel est finalement plus lâche, et laisse place à des réflexions moins géométriques que métaphysiques, ce par quoi l’on pressent, à raison, que L’Esprit géométrique s’inscrit plus largement dans la démarche apologétique de Pascal.

Le texte :

"Je ne puis faire mieux entendre la conduite qu'on doit garder pour les démonstrations convaincantes, qu'en expliquant celle que la géométrie observe. Mais il faut auparavant que je donne l'idée d'une méthode encore plus éminente et plus accomplie, mais où les hommes ne seraient jamais arrivés : car ce qui passe la géométrie nous surpasse ; et néanmoins il est nécessaire d'en dire quelque chose, quoiqu'il soit impossible de le pratiquer.

Cette véritable méthode, qui formerait les démonstrations dans la plus haute excellence, s'il était possible d'y arriver, consisterait en deux choses principales : l'une, de n'employer aucun terme dont on n'eût auparavant expliqué nettement le sens ; l'autre, de n'avancer jamais aucune proposition qu'on ne démontrât par des vérités déjà connues c'est-à-dire, en un mot, à définir tous les termes et à prouver toutes les propositions...

Certainement cette méthode serait belle, mais elle est absolument impossible : car il est évident que les premiers termes qu'on voudrait définir en supposeraient de précédents pour servir à leur explication, et que de même les premières propositions qu'on voudrait prouver en supposeraient d'autres qui les précédassent et ainsi il est clair qu'on n’arriverait jamais aux premières." (Blaise Pascal, De l'esprit géométrique)

Questions sur le texte : 

1. De quoi parle le texte ?

2. Quelle est la thèse de l'auteur ?

3. Quels sont ses arguments ? (cf. le plan du texte)

4. Qu'est-ce qu'une "démonstration" ?

5. A quelles conditions une démonstration peut-elle être "convaincante" ? 

6. Pourquoi la géométrie est-elle un modèle de démonstration convaincante ?

7. Quels seraient les deux principaux caractères d'une méthode de démonstration "encore plus éminente" ?

8. Pourquoi cette méthode serait-elle "belle" ?

9. Pourquoi est-elle "absolument  impossible" ?

10. Chercher la définition des mots : "théorème", "axiome", "postulat".

11. Chercher des exemples.

12. Pourquoi est-il "clair" que l'on ne parviendrait jamais aux premières propositions.

Questions complémentaires (conclusion du commentaire) : les axiomes sont-ils toujours "évidents" ? La question des l'axiomatique se pose-t-elle de la même façon aujourd'hui (les géométries non euclidiennes) ?

Note : En mathématiques, on appelle géométrie non euclidienne une théorie géométrique ayant recours à tous les axiomes et postulats posés par Euclide dans les Éléments, sauf le postulat des parallèles.

"Une géométrie ne peut être plus vraie qu’une autre, elle peut simplement être plus commode." (Henri Poincaré)